Rezumatul Proiectului
Proiectul de cercetare este realizat de catre o echipa de cercetatori in matematica aplicata din: Universitatea din Craiova
Acest grant raspunde domeniilor prioritare ale programului cadru FP6, precum si planului strategic de dezvoltare a cercetarii stiintifice al Universitatii din Craiova.
Tema propusa: Unul dintre domeniile de cercetare in analiza matematica neliniara consta in studiul anumitor procese cu origini in probleme din teoria haosului si care pot fi ilustrate prin intermediul ecuatiilor degenerate neomogene si ecuatiile partiale singulare. Astfel de modele pot fi reprezentate de anumite clase de ecuatii partiale, care pot fi modulate grafic de fractali. Sisteme de mapari de contractii au fost studiate anterior de mai multi autori in diferite scopuri applicative. Codificarea imaginilor fractalice ridica numeroase probleme, ramase deschise, cum ar fi codificarea bloc a unei imagini de fractal si compresia cuantica a imaginilor fractalice, deoarece in implementarile practice se observa ca timpul de calcul necesar este descurajant. Este necesar a se dezvolta un aparat matematic particular in acest sens, pentru tratarea acestor subiecte. De exemplu, in setul classic Mandelbrot (set cu dimensiune Hausdorff neintegrabila) reducerea numarului de parametri va schimba reprezentarea grafica aproape in totalitate. Pentru aplicatii aceasta inseamna o entropie mare care va genera o compresie marita dar pentru solutiile ecuatiilor partiale inseamna la prima vedere instabilitate.
Subiectul abordat de proiect: Termenul de neliniar descrie o clasa larga de sisteme. Ne-am propus sa le studiem pe acelea care au neliniaritatea iesirii proportionala cu puterea unui stimul de la intrare. Aceasta are aplicatii in medicina, teoria informatiei si in fizica materiilor comprimate. In acest context, unul din obiectivele proiectului este studiul unor noi proprietati ale spatiilor mentionate anterior si de a introduce noi spatii de acest gen, adecvate studiului unor problem particulare. Notam faptul ca atentia noastra a fost captata de studiul unor probleme asociate. Studiul ecuatiilor diferentiale in domeniul fractalilor, numit analiza fractalilor, are de-a face cu anumite intrebari analitice in care spatiul de baza este fractal. Unul din principalele exemple in acest domeniu este dezvoltarea unei teori mai buna a spatiilor functionale de pe un subset fractal Rn, de la ideea initiala a teoremei de extensie Whitney (existenta unor baze ortonormate de exponentii complecsi, cu frecvente intr-un spectru). O alta abordare bazata pe calcul, este datoarata lui Jun Kigami, cu o prezentare detaliata si formala a operatiilor pe functii, definite ca limite ale analogilor discreti. Asupra cercetarilor propriuzise in domeniu, datorita unui set mic de valori proprii delimitate de o vecinatate deschisa a lui 0, pentru o functie specifica F unde functiile delta sunt greu de calculat (pentru a dezvolta specificatiile fractale trebuie definite). Cazul clasic al spectrului lui Dirichlet poate fi folosit in urmatoarele ajustari de parametru: functia constanta este construita utilizand functia proprie Neumann. Cu toate ca lm = 0 si l = 0, seriile au multiplicitatea crescuta cu 3, mai exact functiile proprii associate punctelor de limita, seriile 5 au multiplicitatea redusa cu 2, deoarece retinem toate functiile proprii asociate cu bucle, dar renuntam la cele doua in plus care se intind de la o limita la alta. Seriile 5 incep cu m0 = 0. Este bine cunoscut faptul ca pentru a localiza un numar specific de functii proprii folosite pentru a imbunatati parametrii dintre fractali, este o problema deschisa pentru anumite cazuri particulare. Este necasar sa definim valorile proprii dn in partea inferioara a spectrului Dirichlet care consta in primele valori proprii (3^(m+1)-3)/2 care sunt identice cu proportia functiilor proprii d_n in spectrul Dirichlet de d_m, daca indicam numarul total de functii proprii dn in spectrul dm al lui Dirichlet. Pentru valoarea proprie l_m = 6, toate functiile proprii (3^m-3)/2 sunt d_n. Pentru a dezvolta o solutie in acest domeniu este necesar sa putem calcula produsii interiori ai functiilor proprii. In plus, este necesar sa abordam cazul conditiilor de limita Dirichlet care schimba parametrul m intr-o valoare adecvata. Intentionam sa studiem cazurile in care exista solutii pozitive. Acesta poate fi interpretat ca solutia la limita incepand de oriunde si iterand planul de renormalizare, urmat de normalizare.
Interesul principal il reprezinta constructia de ecuatii integrabile evolutive nonliniare multidimensionale si studierea proprietatiilor geometrice a sistemelor dinamice nonliniare pentru a gasi un sistem de generatori pentru solutiile multiple cu aplicatii (de exemplu in generarea cheilor care este necesara procesului criptografic). Aceste modele sunt bazate pe proprietatile topologice a spatiului de solutii pentru parametrii generati de acest tip de ecuatii.
Tineri Cercetatori
Prin structura sa, proiectul pune baza pe dezvoltarea capacitatilor de cercetare a tinerilor precum si formarea lor in domeniile de maxima importanta ale matematicii teoretice si aplicate. Indeplinirea acestui deziderat reiese din articolele descrise la rubrica rezultate, aceastea fiind acceptate in publicatii de circulatie internationala, cu factor de impact ISI.